Prostokąt o obwodzie 12 obracany wokół boku - walec o największej objętości

Krok 1. Bryła. Obrót wokół boku $a$ daje walec o wysokości $a$ i promieniu podstawy $b$. Obwód $2(a + b) = 12$, więc $a = 6 - b$.

Krok 2. Zmienna i dziedzina. Niech $b$ - promień walca. Oba boki są dodatnie, więc $b \in (0;\ 6)$.

Krok 3. Funkcja celu.

$V(b) = \pi b^2 a = \pi b^2 (6 - b) = \pi\left(6b^2 - b^3\right).$

Krok 4. Pochodna i punkty krytyczne.

$V'(b) = \pi\left(12b - 3b^2\right) = 3\pi b(4 - b) = 0 \iff b = 4 \quad (b > 0).$

Krok 5. Uzasadnienie. $V' > 0$ dla $0 < b < 4$ i $V' < 0$ dla $4 < b < 6$ - maksimum w $b = 4$:

$a = 6 - 4 = 2, \qquad V = \pi \cdot 16 \cdot 2 = 32\pi.$

Odpowiedź. Prostokąt ma boki $2$ i $4$ i obracamy go dookoła krótszego boku: powstaje walec o promieniu $4$ i wysokości $2$, o objętości $32\pi \approx 100{,}5$.

Komentarz. Obrót tego samego prostokąta $2 \times 4$ wokół dłuższego boku daje walec o promieniu $2$ i wysokości $4$, czyli tylko $16\pi$. Promień „liczy się podwójnie”, dlatego opłaca się, by bok wokół którego obracamy, był krótszy. Ogólnie: przy obwodzie $2s$ optimum to $b = \frac{2}{3}s$. O rozpoznawaniu brył z obrotu: bryły obrotowe - zadania.