Monotoniczność funkcji (x − 1)/x² - mianownik pochodnej zmienia znak

Krok 1. Dziedzina. $x^2 \neq 0$, więc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Zero rozdziela dziedzinę na dwa przedziały: $(-\infty;\ 0)$ i $(0;\ +\infty)$.

Krok 2. Pochodna ilorazu. $u = x - 1$, $v = x^2$, $u' = 1$, $v' = 2x$:

$$f'(x) = \frac{1 \cdot x^2 - (x - 1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4}.$$

Krok 3. Uproszczenie. Licznik to $x(2 - x)$, a $x \neq 0$, więc skracamy przez $x$:

$$f'(x) = \frac{x(2 - x)}{x^4} = \frac{2 - x}{x^3}.$$

Krok 4. Znak pochodnej - pułapka. Tym razem mianownik nie jest kwadratem: $x^3$ ma znak taki jak $x$. Znak ilorazu ustalamy więc z obu czynników (tak samo jak znak iloczynu $(2 - x) \cdot x^3$):

Gdyby ktoś „z rozpędu” uznał mianownik za dodatni (jak przy $(x - 1)^2$ czy $(x^2 + 1)^2$), dostałby dla $x < 0$ znak plus i błędny wniosek, że funkcja tam rośnie. Kontrola: $f(-2) = -\frac{3}{4}$, $f(-1) = -2$, czyli przy wzroście argumentu wartość spadła - funkcja maleje.

Krok 5. Wartość w punkcie zmiany monotoniczności. $f(2) = \frac{2 - 1}{4} = \frac{1}{4}$.

Krok 6. Zapis wyniku. Przedziały podajemy osobno. Funkcja maleje w $(-\infty;\ 0)$ i osobno w $\langle 2;\ +\infty)$ - nie wolno ich połączyć w sumę, bo na przykład $-1 < 3$, a $f(-1) = -2 < f(3) = \frac{2}{9}$.

Odpowiedź. Funkcja maleje w $(-\infty;\ 0)$, rośnie w $(0;\ 2\rangle$ i maleje w $\langle 2;\ +\infty)$.