Obrót kwadratu wokół przekątnej - objętość i pole powierzchni

Krok 1. Jaka bryła powstaje. Dwa wierzchołki leżą na osi, a dwa pozostałe zataczają ten sam okrąg. Bryła to dwa jednakowe stożki o wspólnej podstawie, a tworzące to boki kwadratu: $l = 4$.

Krok 2. Promień i wysokość. Przekątne kwadratu są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy. Przekątna ma długość $4\sqrt{2}$, więc

$$r = H = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.$$

Krok 3. Objętość.

$$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{2}{3}\pi \cdot 8 \cdot 2\sqrt{2} = \frac{32\sqrt{2}}{3}\pi \approx 47{,}4.$$

Krok 4. Pole powierzchni. Dwie powierzchnie boczne:

$$P = 2\pi r l = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4 = 16\sqrt{2}\,\pi.$$

Odpowiedź. $V = \frac{32\sqrt{2}}{3}\pi$, $P = 16\sqrt{2}\,\pi$.

Każdy ze stożków ma kąt rozwarcia $90^\circ$ - to kąt kwadratu. Porównaj z obrotem kwadratu wokół boku: wtedy powstaje walec $r = H = 4$ o objętości $64\pi \approx 201$, ponad cztery razy większej. Lekcja: bryły obrotowe - zadania różne.