Druga pochodna wielomianu - równanie i nierówność f″(x) < 0

Krok 1. Pierwsza pochodna. Różniczkujemy wyraz po wyrazie, stała $-5$ znika:

$$f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 24x.$$

Krok 2. Druga pochodna to pochodna funkcji $f'$:

$$f''(x) = \left(4x^3 - 18x^2 + 24x\right)' = 12x^2 - 36x + 24.$$

Krok 3. Postać iloczynowa. Wyłączamy $12$: $f''(x) = 12(x^2 - 3x + 2)$. Trójmian ma pierwiastki $1$ i $2$ (suma $3$, iloczyn $2$), więc

$$f''(x) = 12(x - 1)(x - 2).$$

Krok 4. Wartości w punktach. Pamiętamy, którą funkcję liczymy:

$$f'(1) = 4 - 18 + 24 = 10, \qquad f''(3) = 12 \cdot 2 \cdot 1 = 24.$$

Krok 5. Równanie i nierówność. $f''(x) = 0$ dla $x = 1$ lub $x = 2$. Parabola $y = 12(x - 1)(x - 2)$ ma ramiona skierowane w górę, więc wartości ujemne przyjmuje między pierwiastkami: $f''(x) < 0$ dla $x \in (1;\ 2)$.

Krok 6. Po co to? Znak drugiej pochodnej mówi, jak zmienia się nachylenie stycznej: na przedziale $(1;\ 2)$ pochodna $f'$ maleje (wykres $f$ wygina się „w dół”), a poza nim rośnie. Dlatego w fizyce druga pochodna położenia to przyspieszenie - tempo zmiany prędkości.

Odpowiedź. a) $f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 24x$, $f''(x) = 12x^2 - 36x + 24$; b) $f'(1) = 10$, $f''(3) = 24$; c) $f''(x) = 0 \iff x \in \{1,\ 2\}$, $f''(x) < 0 \iff x \in (1;\ 2)$.