Nierówności 5ˣ ≥ 3 i (1/2)ˣ < 5 - logarytm w odpowiedzi

Krok 1. Liczba jako potęga dowolnej podstawy. Z definicji logarytmu każdą liczbę dodatnią $b$ można zapisać jako potęgę podstawy $a$ ($a > 0$, $a \ne 1$):

$b = a^{\log_a b}$

Dzięki temu nierówność zawsze da się sprowadzić do wspólnej podstawy, nawet gdy prawa strona nie jest „ładną” potęgą.

Krok 2. Przykład a). $3 = 5^{\log_5 3}$:

$5^x \ge 5^{\log_5 3}$

Podstawa $5 > 1$, zwrot zostaje: $x \ge \log_5 3 \approx 0{,}683$.

Krok 3. Przykład b). $5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{1/2} 5}$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{1/2} 5}$

Podstawa $\frac{1}{2} < 1$ - zmieniamy zwrot: $x > \log_{1/2} 5$. Logarytm o podstawie $\frac{1}{2}$ zamieniamy na logarytm o podstawie 2: $\log_{1/2} 5 = -\log_2 5 \approx -2{,}322$.

Wygodniej można też zapisać $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$: wtedy $2^{-x} < 5$, czyli $-x < \log_2 5$ i $x > -\log_2 5$ - ten sam wynik.

Krok 4. Sprawdzenie b). $x = 0$: $1 < 5$ - spełnia. $x = -3$: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8 > 5$ - nie spełnia, zgodnie z tym, że $-3 < -2{,}322$.

Odpowiedź. a) $x \in [\log_5 3, +\infty)$; b) $x \in (-\log_2 5, +\infty)$.