Udowodnij tożsamość cos α/(1 − sin α) = (1 + sin α)/cos α

Krok 1. Dziedzina. Prawa strona wymaga $\cos\alpha \neq 0$, lewa - $\sin\alpha \neq 1$. Drugi warunek wynika z pierwszego: gdyby $\sin\alpha = 1$, z jedynki byłoby $\cos^2\alpha = 0$. Obie strony mają więc sens dokładnie dla $\cos\alpha \neq 0$, czyli $\alpha \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ$.

Krok 2. Rozszerzamy lewą stronę o 1 + sin α. Mnożymy licznik i mianownik przez $1 + \sin\alpha$; to wolno, bo $1 + \sin\alpha \neq 0$ (przy $\sin\alpha = -1$ też byłoby $\cos\alpha = 0$):

$L = \frac{\cos\alpha\,(1 + \sin\alpha)}{(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}.$

Krok 3. Różnica kwadratów i jedynka w mianowniku.

$(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha.$

Krok 4. Skracamy przez cos α:

$L = \frac{\cos\alpha\,(1 + \sin\alpha)}{\cos^2\alpha} = \frac{1 + \sin\alpha}{\cos\alpha} = P.$

Przekształciliśmy lewą stronę w prawą, więc tożsamość jest udowodniona.

Uwaga: „mnożenie na krzyż” ($\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, więc się zgadza) nie jest poprawnym dowodem, jeśli zaczyna się od zapisania tezy. Można tak dojść do pomysłu, ale dowód zapisuje się jako ciąg równości od jednej strony do drugiej.

Odpowiedź. Tożsamość zachodzi dla wszystkich $\alpha \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ$ ($k$ całkowite); dowód - przekształcenie lewej strony powyżej.