tg α = 2√2 w III ćwiartce - oblicz sin α, cos α i ctg α

Krok 1. Wzór łączący tangens z cosinusem. Dzieląc jedynkę przez $\cos^2\alpha$ (tu $\cos\alpha \neq 0$, bo tangens istnieje), dostajemy

$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}.$

Krok 2. Kwadrat cosinusa. $\operatorname{tg}^2\alpha = (2\sqrt{2})^2 = 8$, więc

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + 8 = 9 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\alpha = \frac{1}{9}.$

Krok 3. Znak cosinusa. W III ćwiartce cosinus jest ujemny: $\cos\alpha = -\frac{1}{3}$.

Krok 4. Sinus. Z $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ mamy

$\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Wynik jest ujemny - tak jak powinien być sinus w III ćwiartce.

Krok 5. Cotangens.

$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$

Krok 6. Sprawdzenie jedynką. $\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 1$.

Uwaga: dodatni tangens nie oznacza dodatniego sinusa i cosinusa. Tangens jest dodatni w I i III ćwiartce - tutaj oba składniki ilorazu są ujemne.

Odpowiedź. $\sin\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\cos\alpha = -\frac{1}{3}$, $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$.