Uprość sin α/(1 + cos α) + (1 + cos α)/sin α

Krok 1. Dziedzina. Mianowniki muszą być różne od zera: $\sin\alpha \neq 0$ oraz $\cos\alpha \neq -1$. Drugi warunek wynika z pierwszego - $\cos\alpha = -1$ tylko dla $\alpha = 180^\circ + k \cdot 360^\circ$, a tam $\sin\alpha = 0$. Wyrażenie ma więc sens dla $\sin\alpha \neq 0$, czyli $\alpha \neq k \cdot 180^\circ$ ($k$ całkowite).

Krok 2. Wspólny mianownik $\sin\alpha\,(1 + \cos\alpha)$:

$\frac{\sin^2\alpha + (1 + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha\,(1 + \cos\alpha)}.$

Krok 3. Licznik. Rozwijamy kwadrat sumy i grupujemy kwadraty sinusa i cosinusa:

$\sin^2\alpha + 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 + 2\cos\alpha = 2 + 2\cos\alpha = 2(1 + \cos\alpha).$

Krok 4. Skracamy przez $1 + \cos\alpha \neq 0$:

$\frac{2(1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha\,(1 + \cos\alpha)} = \frac{2}{\sin\alpha}.$

Krok 5. Sprawdzenie dla α = 120°. $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$. Lewa strona: $\frac{\sqrt{3}/2}{1/2} + \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$. Wynik: $\frac{2}{\sqrt{3}/2} = \frac{4}{\sqrt{3}}$. Zgadza się.

Odpowiedź. Dla $\alpha \neq k \cdot 180^\circ$ wyrażenie jest równe $\dfrac{2}{\sin\alpha}$.