Główna › Zadania › Trygonometria dowolnego kąta › Tożsamości trygonometryczne › sin α + cos α = 1/3 - oblicz sin α · cos α, sin³α + cos³α i sin α − cos α sin α + cos α = 1/3 - oblicz sin α · cos α, sin³α + cos³α i sin α − cos α Szkoła średnia trudne
Kąt α \alpha α sin α + cos α = 1 3 \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{3} sin α + cos α = 3 1
a) sin α ⋅ cos α \sin\alpha \cdot \cos\alpha sin α ⋅ cos α
b) sin 3 α + cos 3 α \sin^3\alpha + \cos^3\alpha sin 3 α + cos 3 α
c) sin α − cos α \sin\alpha - \cos\alpha sin α − cos α
Rozwiązanie Pokaż rozwiązanie krok po kroku Ukryj rozwiązanie Krok 1. Kwadrat sumy (a). Podnosimy daną równość do kwadratu i korzystamy z jedynki:
( sin α + cos α ) 2 = sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α = 1 + 2 sin α cos α . (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha. ( sin α + cos α ) 2 = sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α = 1 + 2 sin α cos α .
Zatem 1 9 = 1 + 2 sin α cos α \frac{1}{9} = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha 9 1 = 1 + 2 sin α cos α 2 sin α cos α = − 8 9 2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{8}{9} 2 sin α cos α = − 9 8
sin α cos α = − 4 9 . \sin\alpha\cos\alpha = -\frac{4}{9}. sin α cos α = − 9 4 .
Iloczyn jest ujemny - zgodnie z tym, że w II ćwiartce sinus i cosinus mają różne znaki.
Krok 2. Suma sześcianów (b). Ze wzoru a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
sin 3 α + cos 3 α = ( sin α + cos α ) ( 1 − sin α cos α ) = 1 3 ⋅ ( 1 + 4 9 ) = 1 3 ⋅ 13 9 = 13 27 . \sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) = \frac{1}{3} \cdot \left(1 + \frac{4}{9}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{13}{9} = \frac{13}{27}. sin 3 α + cos 3 α = ( sin α + cos α ) ( 1 − sin α cos α ) = 3 1 ⋅ ( 1 + 9 4 ) = 3 1 ⋅ 9 13 = 27 13 .
Krok 3. Kwadrat różnicy (c). Tym razem podnosimy do kwadratu szukaną różnicę:
( sin α − cos α ) 2 = 1 − 2 sin α cos α = 1 + 8 9 = 17 9 . (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9}. ( sin α − cos α ) 2 = 1 − 2 sin α cos α = 1 + 9 8 = 9 17 .
Krok 4. Znak różnicy. Z kwadratu wychodzą dwie możliwości: ± 17 3 \pm\frac{\sqrt{17}}{3} ± 3 17 sin α > 0 \sin\alpha > 0 sin α > 0 cos α < 0 \cos\alpha < 0 cos α < 0 sin α − cos α > 0 \sin\alpha - \cos\alpha > 0 sin α − cos α > 0
sin α − cos α = 17 3 . \sin\alpha - \cos\alpha = \frac{\sqrt{17}}{3}. sin α − cos α = 3 17 .
Uwaga: bez informacji o ćwiartce przykład c) nie miałby jednej odpowiedzi - a) i b) jej nie potrzebowały, bo nie wymagały wyciągania pierwiastka.
Krok 5. Sprawdzenie, że taki kąt istnieje. Dodając i odejmując równości z treści i z kroku 4: sin α = 1 + 17 6 ≈ 0,854 \sin\alpha = \frac{1 + \sqrt{17}}{6} \approx 0{,}854 sin α = 6 1 + 17 ≈ 0 , 854 cos α = 1 − 17 6 ≈ − 0,521 \cos\alpha = \frac{1 - \sqrt{17}}{6} \approx -0{,}521 cos α = 6 1 − 17 ≈ − 0 , 521 sin 2 α + cos 2 α = 18 + 2 17 36 + 18 − 2 17 36 = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{36} + \frac{18 - 2\sqrt{17}}{36} = 1 sin 2 α + cos 2 α = 36 18 + 2 17 + 36 18 − 2 17 = 1
Odpowiedź. a) − 4 9 -\frac{4}{9} − 9 4 13 27 \frac{13}{27} 27 13 17 3 \frac{\sqrt{17}}{3} 3 17
Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →
Podobne zadania 