tg α = 3 - oblicz (2 sin α − cos α)/(sin α + 4 cos α) oraz sin α · cos α

Krok 1. Ćwiartka nie jest potrzebna. Tangens jest dodatni w I i III ćwiartce, więc kąt może leżeć w każdej z nich - sinus i cosinus mają wtedy przeciwne znaki. Pokażemy, że w obu wyrażeniach znak się skraca i wynik jest jeden. Skoro tangens istnieje, $\cos\alpha \neq 0$.

Krok 2. Przykład a) - dzielimy przez cosinus. Licznik i mianownik dzielimy przez $\cos\alpha$ i korzystamy z $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$:

$\frac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + 4\cos\alpha} = \frac{2\operatorname{tg}\alpha - 1}{\operatorname{tg}\alpha + 4} = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3 + 4} = \frac{5}{7}.$

Krok 3. Przykład b) - dzielimy przez jedynkę. Iloczyn nie jest ułamkiem, ale możemy go podzielić przez $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$, a potem licznik i mianownik przez $\cos^2\alpha$:

$\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha + 1} = \frac{3}{9 + 1} = \frac{3}{10}.$

Krok 4. Sprawdzenie na konkretnym kącie. W I ćwiartce punkt $P = (1, 3)$ daje $r = \sqrt{10}$, $\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Wtedy $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{3}{10}$, a ułamek z a) to $\frac{6 - 1}{3 + 4} = \frac{5}{7}$ (po skróceniu $\sqrt{10}$). W III ćwiartce, dla $P = (-1, -3)$, oba znaki się zmieniają i wyniki wychodzą te same.

Odpowiedź. a) $\frac{5}{7}$; b) $\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{3}{10}$.