Rozmieszczanie kul w szufladach - wariacje z powtórzeniami

Krok 1. Model - kto wybiera? Najczęstszy błąd w takich zadaniach to pomylenie ról. To kula wybiera szufladę, a nie odwrotnie: każda z $5$ kul „decyduje”, do której z $4$ szuflad trafi, i kilka kul może wybrać tę samą. Rozmieszczenie to więc ciąg długości $5$ o wyrazach ze zbioru $4$-elementowego (np. $(2, 2, 1, 4, 2)$: kule $1$, $2$ i $5$ w szufladzie $2$) - wariacja z powtórzeniami $\overline{V}_4^5$, a nie $\overline{V}_5^4$.

Krok 2. a) Wszystkie rozmieszczenia.

$$\overline{V}_4^5 = 4^5 = 1024.$$

Krok 3. b) Szuflada nr $4$ pusta. Każda kula ma do wyboru już tylko $3$ szuflady:

$$3^5 = 243.$$

Krok 4. c) Co najmniej jedna kula w szufladzie nr $1$ - zdarzenie przeciwne. Liczenie wprost wymagałoby rozważenia pięciu przypadków (jedna kula, dwie, …, pięć). Prościej od wszystkich rozmieszczeń odjąć te, w których szuflada nr $1$ jest pusta. Tych jest - jak w punkcie b) - $3^5 = 243$:

$$4^5 - 3^5 = 1024 - 243 = 781.$$

Odpowiedź. a) $1024$; b) $243$; c) $781$.