Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego 12, kąt 30° z podstawą - krawędź i wysokość

Krok 1. Trójkąt prostokątny. Rzutem przekątnej $BD_1$ na podstawę jest przekątna podstawy $BD$, więc kąt nachylenia to $\angle DBD_1 = 30^\circ$, a kąt prosty jest przy $D$.

Krok 2. Wysokość. Wysokość $DD_1$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$:

$H = |BD_1| \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6.$

Krok 3. Przekątna podstawy.

$|BD| = |BD_1| \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.$

Krok 4. Krawędź podstawy. Podstawą jest kwadrat, a jego przekątna to $a\sqrt{2}$:

$a\sqrt{2} = 6\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6}.$

Krok 5. Sprawdzenie. $2a^2 + H^2 = 2 \cdot 54 + 36 = 144 = 12^2$. $\checkmark$

Odpowiedź. Wysokość graniastosłupa jest równa $6$, a krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{6}$.