Dwie karty z talii - co najmniej jeden as, jaka szansa na dwa asy?

Krok 1. Przestrzeń. Losujemy jednocześnie, więc wynik to dwuelementowy podzbiór talii:

$|\Omega| = \binom{52}{2} = \frac{52 \cdot 51}{2} = 1326.$

Krok 2. Warunek przez zdarzenie przeciwne. $B$ - co najmniej jeden as. Zdarzenie przeciwne $B'$ to „żadnego asa”: obie karty spośród $48$ kart niebędących asami.

$|B'| = \binom{48}{2} = \frac{48 \cdot 47}{2} = 1128, \qquad |B| = 1326 - 1128 = 198.$

Krok 3. Część wspólna. $A$ - obie karty to asy: $|A| = \binom{4}{2} = 6$. Każda para asów zawiera asa, więc $A \subset B$ i $|A \cap B| = 6$.

Krok 4. Prawdopodobieństwo warunkowe.

$P(A \mid B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{6}{198} = \frac{1}{33}.$

Krok 5. Ciekawostka - inny warunek, inny wynik. Gdyby wiadomo było, że wśród kart jest as pik, to druga karta jest dowolną z pozostałych $51$, a asów zostały $3$: szansa na dwa asy wynosi wtedy $\tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{17}$, czyli prawie dwa razy więcej. To ten sam mechanizm co w paradoksie dwojga dzieci: informacja o konkretnej karcie mówi więcej niż informacja „co najmniej jeden”.

Pułapka. Rachunek „jeden as już jest, więc drugi as z $51$ kart: $\tfrac{3}{51}$” odpowiada innemu warunkowi (wskazanej karcie), a nie zdaniu „co najmniej jeden as”.

Odpowiedź. $P(A \mid B) = \dfrac{1}{33}$.