Równania 3ˣ = 7 i 2ˣ⁺¹ = 5 - gdy potrzebny jest logarytm

Krok 1. Kiedy zwykła metoda zawodzi. Liczby 7 nie da się zapisać jako $3^k$ z wymiernym wykładnikiem, który umiemy „zobaczyć”: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, więc szukany wykładnik leży między 1 a 2. Pomaga definicja logarytmu:

$a^x = b \quad\Longleftrightarrow\quad x = \log_a b \qquad (a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0)$

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, bo funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, a jej zbiór wartości to $(0, +\infty)$ - liczba 7 do niego należy.

Krok 2. Przykład a).

$3^x = 7 \quad\Longrightarrow\quad x = \log_3 7 \approx 1{,}771$

Szacunek się zgadza: $1 < 1{,}771 < 2$.

Krok 3. Przykład b). Najpierw logarytm, potem przeniesienie jedynki:

$x + 1 = \log_2 5 \quad\Longrightarrow\quad x = \log_2 5 - 1 = \log_2 5 - \log_2 2 = \log_2 \frac{5}{2}$

Przybliżenie: $\log_2 \frac{5}{2} = \log_2 2{,}5 \approx 1{,}322$. Sprawdzenie: $2^{2{,}322} \approx 5{,}0$.

Pułapka: wynik $x = \log_2 4 = 2$ powstaje, gdy ktoś najpierw „odejmie jedynkę” od piątki. Jedynka jest w wykładniku, a nie przy liczbie 5.

Odpowiedź. a) $x = \log_3 7 \approx 1{,}771$; b) $x = \log_2 \frac{5}{2} \approx 1{,}322$.