Wykaż, że f(x) = 5ˣ − 5⁻ˣ jest rosnąca i nieparzysta

Krok 1. Dwa dowolne argumenty. Niech $x_1 < x_2$. Trzeba pokazać, że $f(x_1) < f(x_2)$.

Krok 2. Pierwszy składnik. Funkcja $5^x$ jest rosnąca (podstawa $5 > 1$), więc

$5^{x_1} < 5^{x_2}$

Krok 3. Drugi składnik. $5^{-x} = \left(\frac{1}{5}\right)^x$, a ta funkcja jest malejąca:

$5^{-x_1} > 5^{-x_2} \quad\Longrightarrow\quad -5^{-x_1} < -5^{-x_2}$

(mnożenie przez $-1$ odwraca nierówność).

Krok 4. Dodanie nierówności. Dodajemy stronami dwie nierówności o tym samym zwrocie:

$5^{x_1} - 5^{-x_1} < 5^{x_2} - 5^{-x_2}, \qquad \text{czyli} \qquad f(x_1) < f(x_2)$

To kończy dowód części a): suma funkcji rosnącej i funkcji przeciwnej do malejącej jest rosnąca.

Krok 5. Nieparzystość. Dziedzina $\mathbb{R}$ jest symetryczna względem zera, a

$f(-x) = 5^{-x} - 5^{x} = -\left(5^{x} - 5^{-x}\right) = -f(x)$

Krok 6. Miejsca zerowe. Funkcja nieparzysta określona w zerze ma $f(0) = 0$: rzeczywiście $5^0 - 5^0 = 0$. Funkcja rosnąca jest różnowartościowa, więc wartość $0$ przyjmuje tylko raz.

Odpowiedź. $f$ jest rosnąca i nieparzysta; jedynym miejscem zerowym jest $x = 0$.