Funkcja odwrotna do f(x) = 3ˣ⁻¹ + 2 - wzór, dziedzina, asymptota

Krok 1. Własności $f$. Funkcja $3^{x - 1}$ przyjmuje wszystkie wartości dodatnie, więc $f(x) = 3^{x - 1} + 2$ przyjmuje wartości z przedziału $(2, +\infty)$. Jest rosnąca, czyli różnowartościowa - funkcja odwrotna istnieje.

Krok 2. Wyznaczamy $x$ z równania $y = f(x)$ (dla $y > 2$):

$y = 3^{x - 1} + 2 \quad\Longrightarrow\quad 3^{x - 1} = y - 2 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = \log_3 (y - 2) \quad\Longrightarrow\quad x = \log_3 (y - 2) + 1.$

Środkowe przejście to sama definicja logarytmu: wykładnik, do którego podnosimy $3$, żeby dostać $y - 2$.

Krok 3. Zamiana oznaczeń. Argument funkcji odwrotnej oznaczamy znów literą $x$:

$f^{-1}(x) = \log_3 (x - 2) + 1.$

Krok 4. Własności $f^{-1}$. Dziedzina i zbiór wartości zamieniają się miejscami:

• dziedzina $f^{-1}$: $(2, +\infty)$ - to zbiór wartości $f$, zgodny z warunkiem $x - 2 > 0$;
• zbiór wartości $f^{-1}$: $\mathbb{R}$ - to dziedzina $f$;
• asymptota pionowa $x = 2$ - obraz asymptoty poziomej $y = 2$ wykresu $f$ w symetrii względem prostej $y = x$.

Krok 5. Punkt symetryczny. Wykresy $f$ i $f^{-1}$ są symetryczne względem prostej $y = x$, więc punkt $(2, 5)$ przechodzi w $(5, 2)$. Sprawdzamy:

$f^{-1}(5) = \log_3 (5 - 2) + 1 = \log_3 3 + 1 = 2. \ \checkmark$

Odpowiedź. a) $f^{-1}(x) = \log_3 (x - 2) + 1$; b) dziedzina $(2, +\infty)$, zbiór wartości $\mathbb{R}$, asymptota $x = 2$; c) punkt $(5, 2)$.