Dla jakich m funkcja mx³ + 3x² + mx − 1 jest malejąca, a dla jakich rosnąca w ℝ

Krok 1. Pochodna.

$$f'(x) = 3mx^2 + 6x + m.$$

Parametr stoi przy $x^2$, więc pochodna może być funkcją kwadratową albo liniową - trzeba rozpatrzyć dwa przypadki.

Krok 2. Przypadek $m = 0$. Wtedy $f(x) = 3x^2 - 1$ - parabola, a $f'(x) = 6x$ zmienia znak w zerze. Funkcja maleje w $(-\infty;\ 0\rangle$ i rośnie w $\langle 0;\ +\infty)$, więc nie jest monotoniczna w $\mathbb{R}$. Wartość $m = 0$ odpada w obu częściach.

Krok 3. Przypadek $m \neq 0$ - warunek. Pochodna jest funkcją kwadratową. Funkcja $f$ jest malejąca w $\mathbb{R}$, gdy $f'(x) \leq 0$ dla każdego $x$ i zeruje się najwyżej w jednym punkcie. Dla paraboli oznacza to: ramiona w dół i co najwyżej jedno miejsce zerowe:

$$3m < 0 \quad \text{oraz} \quad \Delta \leq 0.$$

Krok 4. Wyróżnik.

$$\Delta = 6^2 - 4 \cdot 3m \cdot m = 36 - 12m^2,$$

$$36 - 12m^2 \leq 0 \iff m^2 \geq 3 \iff m \leq -\sqrt{3} \ \text{lub} \ m \geq \sqrt{3}.$$

Krok 5. Część a). Łączymy $m < 0$ z $m \leq -\sqrt{3}$ lub $m \geq \sqrt{3}$ i dostajemy $m \leq -\sqrt{3}$.

Krok 6. Brzeg $m = -\sqrt{3}$. Wtedy

$$f'(x) = -3\sqrt{3}x^2 + 6x - \sqrt{3} = -\sqrt{3}\left(3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1\right),$$

$$f'(x) = -\sqrt{3}\left(\sqrt{3}x - 1\right)^2 \leq 0,$$

a równość zachodzi tylko dla $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Pochodna równa zero w jednym punkcie nie psuje monotoniczności, więc $m = -\sqrt{3}$ należy do odpowiedzi.

Krok 7. Część b). Analogicznie funkcja jest rosnąca w $\mathbb{R}$, gdy $3m > 0$ i $\Delta \leq 0$, czyli $m > 0$ oraz ($m \leq -\sqrt{3}$ lub $m \geq \sqrt{3}$). Zostaje $m \geq \sqrt{3}$. Dla $m = \sqrt{3}$ jest $f'(x) = \sqrt{3}\left(\sqrt{3}x + 1\right)^2 \geq 0$ z zerem tylko w $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, więc brzeg też należy do odpowiedzi.

Krok 8. Kontrola dla wartości ze środka. Dla $m = -1$ (czyli $-\sqrt{3} < m < 0$) mamy $f'(x) = -3x^2 + 6x - 1$, a $f'(1) = 2 > 0$ i $f'(0) = -1 < 0$ - pochodna zmienia znak, funkcja nie jest monotoniczna w $\mathbb{R}$. Zgadza się z wynikiem.

Odpowiedź. a) $m \in (-\infty;\ -\sqrt{3}\rangle$. b) $m \in \langle \sqrt{3};\ +\infty)$.