Uzasadnienie monotoniczności z definicji: f(x) = 3/x dla x > 0

Krok 1. Przypominamy definicję. Funkcja jest malejąca, gdy dla dowolnych argumentów $x_1 < x_2$ z dziedziny zachodzi $f(x_1) > f(x_2)$.

Krok 2. Bierzemy dowolne dwa argumenty. Niech $0 < x_1 < x_2$. Liczymy różnicę wartości:

$f(x_1) - f(x_2) = \frac{3}{x_1} - \frac{3}{x_2} = \frac{3x_2 - 3x_1}{x_1 x_2} = \frac{3(x_2 - x_1)}{x_1 x_2}.$

Krok 3. Badamy znak tej różnicy. Licznik jest dodatni, bo $x_2 > x_1$, czyli $x_2 - x_1 > 0$. Mianownik też jest dodatni, bo oba argumenty są dodatnie. Zatem

$f(x_1) - f(x_2) > 0 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1) > f(x_2).$

To jest dokładnie warunek z definicji, więc funkcja jest malejąca w całym przedziale $(0, +\infty)$.

Krok 4. Zbiór wartości. Dla dodatnich argumentów wartość $\tfrac{3}{x}$ jest zawsze dodatnia, a dobierając odpowiednio duże i odpowiednio małe $x$ można uzyskać wartość dowolnie bliską zeru i dowolnie dużą:

$ZW = (0, +\infty).$

Uwaga. Zdanie „funkcja jest malejąca” dotyczy tu przedziału $(0, +\infty)$. Na całej dziedzinie $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ funkcja nie jest malejąca - np. $f(-1) = -3$, a $f(1) = 3$, choć $-1 < 1$.

Odpowiedź. Dla $0 < x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) - f(x_2) = \tfrac{3(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} > 0$, czyli funkcja jest malejąca; $ZW = (0, +\infty)$.