Punkt dzielący odcinek w danym stosunku - współrzędne

Krok 1. Skąd tu twierdzenie Talesa. Poprowadźmy przez punkty $A$, $P$ i $B$ proste równoległe do osi $OY$. Przecinają one oś $OX$ w punktach o odciętych $1$, $x_P$ i $11$.

Trzy proste równoległe przecinają dwie proste: odcinek $AB$ oraz oś $OX$. Z twierdzenia Talesa odcinki wycięte na obu tych prostych są proporcjonalne, czyli rzut odcinka na oś dzieli się w tym samym stosunku co sam odcinek:

$\frac{x_P - 1}{11 - x_P} = \frac{|AP|}{|PB|} = \frac{2}{3}.$

Dokładnie tak samo działa to dla drugiej współrzędnej - wystarczy poprowadzić proste równoległe do osi $OX$.

Krok 2. Obliczamy odciętą.

$3(x_P - 1) = 2(11 - x_P) \quad\Longleftrightarrow\quad 3x_P - 3 = 22 - 2x_P,$

$5x_P = 25 \quad\Longrightarrow\quad x_P = 5.$

Krok 3. Obliczamy rzędną. Postępujemy identycznie:

$\frac{y_P - 2}{7 - y_P} = \frac{2}{3} \quad\Longleftrightarrow\quad 3y_P - 6 = 14 - 2y_P,$

$5y_P = 20 \quad\Longrightarrow\quad y_P = 4.$

Krok 4. Sprawdzenie. Liczymy obie długości ze wzoru na odległość punktów:

$|AP| = \sqrt{(5-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20},$

$|PB| = \sqrt{(11-5)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}.$

$\frac{|AP|}{|PB|} = \sqrt{\frac{20}{45}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}.$

Stosunek się zgadza.

Wzór ogólny (warto znać). Punkt dzielący odcinek $AB$ w stosunku $m : n$ licząc od $A$ ma współrzędne

$P = \left(\frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}, \; \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}\right).$

Sprawdźmy: $\tfrac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 11}{5} = \tfrac{25}{5} = 5$ oraz $\tfrac{3 \cdot 2 + 2 \cdot 7}{5} = \tfrac{20}{5} = 4$. Uwaga na kolejność - przy $|AP| : |PB| = m : n$ współrzędne punktu $A$ mnożymy przez $n$, a nie przez $m$. Dla $m = n$ wzór sprowadza się do znanego wzoru na środek odcinka.

Odpowiedź. $P = (5, 4)$.