Przekątne trzech ścian prostopadłościanu √13, √20 i 5 - oblicz przekątną prostopadłościanu

Krok 1. Układ równań. Niech $a, b, c$ będą długościami krawędzi wychodzących z wierzchołka $B_1$. Każda przekątna ściany jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych dwóm krawędziom:

$a^2 + b^2 = 13, \qquad a^2 + c^2 = 20, \qquad b^2 + c^2 = 25.$

Krok 2. Dodajemy stronami. Każdy kwadrat krawędzi występuje dwa razy:

$2(a^2 + b^2 + c^2) = 13 + 20 + 25 = 58 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 + c^2 = 29.$

Krok 3. Przekątna prostopadłościanu. Ponieważ $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, od razu

$d = \sqrt{29}.$

Krok 4. Krawędzie. Odejmujemy od $29$ kolejne równania:

$c^2 = 29 - 13 = 16, \qquad b^2 = 29 - 20 = 9, \qquad a^2 = 29 - 25 = 4,$

więc $a = 2$, $b = 3$, $c = 4$.

Odpowiedź. Przekątna prostopadłościanu ma długość $\sqrt{29}$, a krawędzie mają długości $2$, $3$ i $4$.