Promień i tworząca stożka z sumy i pola bocznego - odrzucanie rozwiązania

Krok 1. Równania. Z danych: $r + l = 18$ oraz $\pi r l = 56\pi$, czyli $r l = 56$.

Krok 2. Równanie kwadratowe. Podstawiamy $l = 18 - r$:

$$r(18 - r) = 56 \iff r^2 - 18r + 56 = 0, \qquad \Delta = 324 - 224 = 100, \qquad r = \frac{18 \pm 10}{2}.$$

Wychodzi $r = 4$ (wtedy $l = 14$) albo $r = 14$ (wtedy $l = 4$).

Krok 3. Odrzucamy jedno rozwiązanie. Tworząca jest przeciwprostokątną trójkąta o bokach $r$, $H$, $l$, więc musi być dłuższa od promienia: $l > r$. Para $r = 14$, $l = 4$ nie opisuje żadnego stożka. Zostaje $r = 4$, $l = 14$.

Krok 4. Wysokość.

$$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{196 - 16} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$$

Krok 5. Objętość.

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 6\sqrt{5} = 32\sqrt{5}\,\pi.$$

Odpowiedź. $V = 32\sqrt{5}\,\pi \approx 224{,}8$.

Pułapka. Równanie jest symetryczne względem $r$ i $l$, więc algebra „nie wie”, która liczba jest promieniem. O wyborze decyduje geometria: przy $l < r$ wysokość wychodziłaby z pierwiastka liczby ujemnej. Związek $l^2 = r^2 + H^2$ omawia lekcja stożek.