Walec wpisany w kulę o promieniu 5 o największym polu bocznym

Krok 1. Zmienna i dziedzina. Niech $h$ - wysokość walca, $h \in (0;\ 10)$. Z przekroju osiowego (twierdzenie Pitagorasa):

$r^2 + \frac{h^2}{4} = 25 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{25 - \frac{h^2}{4}}.$

Krok 2. Funkcja celu.

$P_b(h) = 2\pi r h = 2\pi h\sqrt{25 - \frac{h^2}{4}}.$

Krok 3. Pozbywamy się pierwiastka. $P_b > 0$, więc $P_b$ jest największe dokładnie wtedy, gdy największa jest funkcja

$g(h) = h^2\left(25 - \frac{h^2}{4}\right) = 25h^2 - \frac{h^4}{4}, \qquad \left(P_b = 2\pi\sqrt{g(h)}\right).$

Krok 4. Pochodna i punkty krytyczne.

$g'(h) = 50h - h^3 = h\left(50 - h^2\right) = 0 \iff h = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \quad (h > 0).$

$5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ leży w dziedzinie.

Krok 5. Uzasadnienie. $g' > 0$ dla $0 < h < 5\sqrt{2}$ i $g' < 0$ dla $5\sqrt{2} < h < 10$ - maksimum:

$r^2 = 25 - \frac{50}{4} = \frac{25}{2}, \quad r = \frac{5\sqrt{2}}{2}, \qquad P_b = 2\pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot 5\sqrt{2} = 50\pi.$

Odpowiedź. Walec ma wysokość $5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ i promień $\frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54$ (czyli $h = 2r$ - przekrój osiowy jest kwadratem). Jego pole boczne $50\pi$ to dokładnie połowa pola sfery ($4\pi \cdot 25 = 100\pi$).

Porównanie. Walec o największej objętości wpisany w kulę ma $h = \sqrt{2}\, r$ - jest niższy (rozwiązanie w lekcji zadania optymalizacyjne).