Wyznacz parametr, gdy suma kwadratów pierwiastków wynosi 20

Szkoła średnia trudne

Dla jakiej wartości parametru $m$ suma kwadratów pierwiastków równania

$x^2 - 6x + m = 0$

jest równa $20$ ?

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Zapisujemy wzory Viète’a (na razie bez sprawdzania delty):

$x_1 + x_2 = 6, \qquad x_1 x_2 = m.$

Krok 2. Przekształcamy warunek z treści.

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 36 - 2m.$

Krok 3. Rozwiązujemy równanie.

$36 - 2m = 20 \quad\Longrightarrow\quad 2m = 16 \quad\Longrightarrow\quad m = 8.$

Krok 4. Sprawdzamy, czy pierwiastki w ogóle istnieją. To warunek konieczny stosowania wzorów Viète’a:

$\Delta = 36 - 4m = 36 - 32 = 4 > 0.$

Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa różne pierwiastki i znaleziona wartość jest poprawna.

Sprawdzenie. Dla $m = 8$ równanie $x^2 - 6x + 8 = 0$ ma pierwiastki $2$ i $4$ , a $4 + 16 = 20$ . Zgadza się.

Odpowiedź. $m = 8$ .