Ułóż równanie o pierwiastkach 3 i −7

Krok 1. Liczymy sumę i iloczyn pierwiastków.

$x_1 + x_2 = 3 + (-7) = -4, \qquad x_1 x_2 = 3 \cdot (-7) = -21.$

Krok 2. Korzystamy ze wzoru na równanie o danych pierwiastkach.

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - (-4)x + (-21) = 0.$

Krok 3. Porządkujemy.

$x^2 + 4x - 21 = 0.$

Sprawdzenie. $\Delta = 16 + 84 = 100$, więc $x = \frac{-4 \pm 10}{2}$, czyli $3$ oraz $-7$. Zgadza się.

Uwaga. Rozwiązań jest nieskończenie wiele - każde równanie postaci $a(x^2 + 4x - 21) = 0$ dla $a \ne 0$ ma te same pierwiastki. Podajemy najprostsze, z $a = 1$.

Odpowiedź. $x^2 + 4x - 21 = 0$.