Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego

Krok 1. Parametry. $n = 7$, $p = \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$, $q = \tfrac{2}{3}$. Wzór Bernoulliego przyjmuje postać

$P(S_7 = k) = \binom{7}{k} \cdot \frac{1^k \cdot 2^{7-k}}{3^7} = \frac{\binom{7}{k} \cdot 2^{7-k}}{2187}.$

Krok 2. Cały rozkład. Wystarczy policzyć liczniki $\binom{7}{k} \cdot 2^{7-k}$:

Wszystkie liczniki sumują się do $2187 = 3^7$ - rozkład jest kompletny. Największy licznik ($672$) odpowiada $k = 2$.

Krok 3. Sprawdzenie metodą ilorazu. Iloraz dwóch kolejnych prawdopodobieństw:

$\frac{P(S_7 = k+1)}{P(S_7 = k)} = \frac{7-k}{k+1} \cdot \frac{p}{q} = \frac{7-k}{2(k+1)}.$

Prawdopodobieństwa rosną, dopóki ten iloraz jest większy od $1$:

$\frac{7-k}{2(k+1)} > 1 \iff 7 - k > 2k + 2 \iff k < \frac{5}{3}.$

Rosną więc przy przejściu z $k = 0$ do $1$ i z $1$ do $2$, a od $k = 2$ maleją. Maksimum jest w $k = 2$.

Krok 4. Skrót do zapamiętania. Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów to część całkowita liczby $(n+1)p$, o ile ta liczba nie jest całkowita. Tu $(n+1)p = 8 \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{8}{3} \approx 2{,}67$, więc $k = 2$ - zgadza się.

Pułapka. Średnio sukcesów jest $np = \tfrac{7}{3} \approx 2{,}33$, ale „najbardziej prawdopodobna liczba” i „średnia liczba” to różne pojęcia - pierwsza musi być całkowita i liczy się ją z rozkładu.

Odpowiedź. Najbardziej prawdopodobne są dwa sukcesy: $P(S_7 = 2) = \dfrac{672}{2187} = \dfrac{224}{729} \approx 0{,}307$.