Liczby czterocyfrowe nieparzyste większe od 7000 o różnych cyfrach - przypadki

Krok 1. Co ograniczają warunki. Cyfra tysięcy to $7$, $8$ lub $9$. Cyfra jedności jest nieparzysta: $1, 3, 5, 7$ lub $9$. Problem w tym, że $7$ i $9$ należą do obu zbiorów - jeśli zużyjemy je na początku, na końcu zostanie mniej możliwości. Dlatego dzielimy zadanie na przypadki według pierwszej cyfry.

Krok 2. Przypadek I: cyfra tysięcy to $7$ lub $9$. Pierwszą cyfrę wybieramy na $2$ sposoby. Cyfra jedności: nieparzysta, różna od pierwszej - $5 - 1 = 4$ możliwości. Na dwóch środkowych miejscach stoją dowolne z pozostałych $8$ cyfr, różne od siebie: $8$ i $7$ możliwości.

$$2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 7 = 448.$$

Krok 3. Przypadek II: cyfra tysięcy to $8$. Pierwsza cyfra jest parzysta, więc nie zabiera żadnej cyfry nieparzystej - na końcu mamy pełne $5$ możliwości. Środek znowu $8 \cdot 7$:

$$1 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 7 = 280.$$

Krok 4. Reguła dodawania. Przypadki są rozłączne (pierwsza cyfra jest albo nieparzysta, albo równa $8$):

$$448 + 280 = 728.$$

Dlaczego nie od razu $3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 7$? Taki iloczyn ($840$) zakłada, że na końcu zawsze jest $5$ możliwości, i liczy np. „liczbę” $7237$ z dwiema siódemkami. Kolejność wyboru ma znaczenie: zaczynamy od miejsc z warunkami, a gdy warunki się „zazębiają”, rozbijamy na przypadki.

Odpowiedź. Jest $728$ takich liczb.