Płaszczyzna BDA₁ odcina od sześcianu czworościan - jaką część objętości?

Szkoła średnia średnie

Sześcian $ABCDA_1B_1C_1D_1$ o krawędzi $6$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki $B$ , $D$ i $A_1$ . Oblicz objętość odciętego czworościanu $ABDA_1$ oraz stosunek objętości obu części sześcianu.

Płaszczyzna BDA₁ odcina od sześcianu czworościan ABDA₁ - jego trzy krawędzie AB, AD i AA₁ wychodzą z jednego wierzchołka i są prostopadłe.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Podstawa i wysokość czworościanu. Za podstawę bierzemy trójkąt $ABD$ - połowę kwadratu podstawy sześcianu. Krawędź $AA_1$ jest prostopadła do podstawy, więc jest wysokością czworościanu:

$P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18, \qquad H = |AA_1| = 6.$

Krok 2. Objętość czworościanu.

$V_1 = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36 = \frac{a^3}{6}.$

Krok 3. Druga część i stosunek. Sześcian ma objętość $6^3 = 216$ :

$V_2 = 216 - 36 = 180, \qquad V_1 : V_2 = 36 : 180 = 1 : 5.$

Odpowiedź. Czworościan ma objętość $36$ (szóstą część sześcianu), a części sześcianu mają objętości w stosunku $1 : 5$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →