Równanie 5ˣ⁻² = 3ˣ⁻² - dwie różne podstawy, ten sam wykładnik

Krok 1. Dlaczego nie da się „porównać wykładników” od razu? Po obu stronach stoją różne podstawy, więc reguła „równe potęgi o tej samej podstawie mają równe wykładniki” tu nie działa. Trzeba sprowadzić równanie do jednej potęgi.

Krok 2. Dzielenie przez $3^{x - 2}$. Potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, więc $3^{x - 2} > 0$ i wolno przez nią podzielić:

$\frac{5^{x - 2}}{3^{x - 2}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{5}{3}\right)^{x - 2} = 1$

(Iloraz potęg o tym samym wykładniku to potęga ilorazu.)

Krok 3. Porównanie wykładników. $1 = \left(\frac{5}{3}\right)^0$, a podstawa $\frac{5}{3} \ne 1$, zatem

$x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2$

Krok 4. Sprawdzenie. $5^0 = 3^0 = 1$. Dla każdego innego $x$ potęgi się różnią: dla $x > 2$ większa jest $5^{x - 2}$, dla $x < 2$ - $3^{x - 2}$.

Odpowiedź. $x = 2$.