Wykres f(x) = log½(x + 2) − 1 - gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie?

Krok 1. Przesunięcie. Wykres $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ przesuwamy o wektor $[-2, -1]$: o $2$ w lewo i o $1$ w dół. Asymptota przechodzi do $x = -2$, a dziedzina to

$x + 2 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x > -2, \qquad D = (-2, +\infty).$

Podstawa $\frac{1}{2} < 1$, więc funkcja jest malejąca - przy asymptocie wykres ucieka w górę.

Krok 2. Miejsce zerowe.

$\log_{\frac{1}{2}} (x + 2) = 1 \quad\Longrightarrow\quad x + 2 = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{3}{2}.$

Krok 3. Przecięcie z osią $OY$. $f(0) = \log_{\frac{1}{2}} 2 - 1 = -1 - 1 = -2$, czyli punkt $(0, -2)$. Pomocniczo: punkt $(1, 0)$ wykresu bazowego przechodzi w $(-1, -1)$.

Krok 4. Rysunek.

Krok 5. Znak funkcji. Funkcja maleje i zeruje się w $x = -\frac{3}{2}$. Na lewo od miejsca zerowego (ale na prawo od asymptoty) wykres leży nad osią $OX$, na prawo od niego - pod osią:

$f(x) > 0 \iff x \in \left(-2, -\tfrac{3}{2}\right), \qquad f(x) < 0 \iff x \in \left(-\tfrac{3}{2}, +\infty\right).$

Ten sam wynik daje nierówność $\log_{\frac{1}{2}} (x + 2) > 1 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$: przy podstawie mniejszej od $1$ zmieniamy znak, $x + 2 < \frac{1}{2}$, i dokładamy dziedzinę $x > -2$.

Odpowiedź. a) $D = (-2, +\infty)$, asymptota $x = -2$, funkcja malejąca; b) miejsce zerowe $x = -\frac{3}{2}$, przecięcie z osią $OY$ w $(0, -2)$; c) $f(x) > 0$ dla $x \in \left(-2, -\frac{3}{2}\right)$, $f(x) < 0$ dla $x \in \left(-\frac{3}{2}, +\infty\right)$.