Suma odchyleń od średniej jest zerem - wyznacz brakującą liczbę

Krok 1. Odchylenia od średniej (część a). Od każdej liczby odejmujemy $\bar{x} = 20$:

$$17 - 20 = -3, \quad 22 - 20 = 2, \quad 24 - 20 = 4, \quad 19 - 20 = -1.$$

Krok 2. Suma znanych odchyleń:

$$-3 + 2 + 4 + (-1) = 2.$$

Krok 3. Odchylenie piątej liczby (część b). Wszystkie pięć odchyleń musi sumować się do $0$, więc piąte odchylenie wynosi $-2$. Piąta liczba jest o $2$ mniejsza od średniej:

$$x_5 = 20 - 2 = 18.$$

Krok 4. Sprawdzenie z sumy. Suma pięciu liczb to $5 \cdot 20 = 100$, a suma czterech znanych to $17 + 22 + 24 + 19 = 82$. Piąta liczba: $100 - 82 = 18$ - zgadza się.

Dlaczego suma odchyleń to zero. Suma danych wynosi $n \cdot \bar{x}$, więc $\sum (x_i - \bar{x}) = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$. Liczby powyżej średniej „równoważą” te poniżej.

Odpowiedź. a) $-3, \; 2, \; 4, \; -1$. b) Piąta liczba to $18$.