Wartość oczekiwana w schemacie Bernoulliego: E(X) = np - sprawdzenie

Krok 1. Parametry. To schemat Bernoulliego: $n = 4$, $p = \tfrac{1}{6}$, $q = \tfrac{5}{6}$. Ze wzoru Bernoulliego

$P(X = k) = \binom{4}{k} \cdot \frac{1^k \cdot 5^{4-k}}{6^4} = \frac{\binom{4}{k} \cdot 5^{4-k}}{1296}.$

Krok 2. Rozkład (a).

• $k = 0$: $1 \cdot 625 = 625$,
• $k = 1$: $4 \cdot 125 = 500$,
• $k = 2$: $6 \cdot 25 = 150$,
• $k = 3$: $4 \cdot 5 = 20$,
• $k = 4$: $1 \cdot 1 = 1$.

Kontrola: $625 + 500 + 150 + 20 + 1 = 1296$.

Krok 3. Wartość oczekiwana z definicji (b).

$E(X) = \frac{0 \cdot 625 + 1 \cdot 500 + 2 \cdot 150 + 3 \cdot 20 + 4 \cdot 1}{1296} = \frac{500 + 300 + 60 + 4}{1296} = \frac{864}{1296} = \frac{2}{3}.$

Krok 4. Porównanie ze wzorem.

$n \cdot p = 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3}.$

Wyniki są równe. To nie przypadek: liczba sukcesów $X$ jest sumą czterech zmiennych „czy w $i$-tym rzucie wypadła szóstka” (wartość $1$ albo $0$), z których każda ma wartość oczekiwaną $1 \cdot \tfrac{1}{6} + 0 \cdot \tfrac{5}{6} = \tfrac{1}{6}$. Wartość oczekiwana sumy to suma wartości oczekiwanych, więc $E(X) = 4 \cdot \tfrac{1}{6}$. W każdym schemacie Bernoulliego $E(X) = np$.

Pułapka. Średnio $\tfrac{2}{3}$ szóstki na cztery rzuty nie znaczy, że „najczęściej wypada $\tfrac{2}{3}$ szóstki” - najbardziej prawdopodobny wynik to $X = 0$ ($\tfrac{625}{1296} \approx 0{,}48$).

Odpowiedź. Rozkład jak w tabeli; $E(X) = \dfrac{2}{3} = 4 \cdot \dfrac{1}{6} = np$.