Ile rozwiązań ma równanie |x| = m w zależności od m

Krok 1. Interpretacja graficzna. Rozwiązania to odcięte punktów wspólnych wykresu $y = |x|$ (litera V z wierzchołkiem w $(0,0)$) oraz poziomej prostej $y = m$.

Krok 2. Przesuwamy prostą i liczymy punkty wspólne.

• gdy $m < 0$ - prosta leży pod wierzchołkiem, a wykres nie schodzi poniżej osi $OX$: brak punktów wspólnych;
• gdy $m = 0$ - prosta pokrywa się z osią $OX$ i dotyka wykresu w wierzchołku: jedno rozwiązanie ($x = 0$);
• gdy $m > 0$ - prosta przecina obie „ramiona” litery V: dwa rozwiązania ($x = -m$ oraz $x = m$).

Krok 3. Kontrola rachunkowa. Dla $m = 3$: $|x| = 3$ daje $x = -3$ lub $x = 3$ - dwa rozwiązania. Dla $m = -1$ równanie $|x| = -1$ jest sprzeczne, bo moduł nie bywa ujemny.

Odpowiedź. a) $m < 0$; b) $m = 0$; c) $m > 0$.