Granica 0/0 - schemat Hornera w liczniku i różnica sześcianów w mianowniku

Krok 1. Próba podstawienia. Licznik: $27 - 36 + 3 + 6 = 0$. Mianownik: $27 - 27 = 0$. Wychodzi symbol $\frac{0}{0}$, więc oba wielomiany dzielą się przez $(x - 3)$ (twierdzenie Bézouta) - trzeba ten czynnik wydzielić.

Krok 2. Licznik - schemat Hornera dla $x_0 = 3$ (współczynniki $1,\ -4,\ 1,\ 6$):

Reszta to $0$, iloraz $x^2 - x - 2$. Zatem $x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 3)(x^2 - x - 2)$.

Krok 3. Mianownik - różnica sześcianów $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$$

Krok 4. Skracamy. Przy liczeniu granicy $x \neq 3$, więc czynnik $(x - 3)$ jest różny od zera i wolno go skrócić:

$$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x^2 - x - 2)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + 3x + 9}$$

Krok 5. Podstawiamy ponownie. Mianownik w punkcie $3$ wynosi $9 + 9 + 9 = 27 \neq 0$, więc nowa funkcja jest ciągła w $3$ i granica to jej wartość:

$$\frac{9 - 3 - 2}{27} = \frac{4}{27}$$

Krok 6. Kontrola. Dla $x = 2{,}999$ wyrażenie ma wartość około $0{,}14801$, dla $x = 3{,}001$ około $0{,}14828$, a $\frac{4}{27} \approx 0{,}14815$ leży pomiędzy - zgadza się.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^3 - 4x^2 + x + 6}{x^3 - 27} = \dfrac{4}{27}$.