Rozpad promieniotwórczy: okres połowicznego rozpadu

Krok 1. Budujemy model. W czasie $t$ dni mieści się $\tfrac{t}{8}$ okresów połowicznego rozpadu, więc

$m(t) = 40 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8}.$

Krok 2. Masa po $24$ dniach. To trzy okresy:

$m(24) = 40 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = 40 \cdot \tfrac{1}{8} = 5 \ \text{g}.$

Można też policzyć „na palcach”: $40 \to 20 \to 10 \to 5$.

Krok 3. Kiedy zostanie $2{,}5$ grama. Kontynuujemy halving: $5 \to 2{,}5$ to jeszcze jeden okres, czyli łącznie cztery:

$t = 4 \cdot 8 = 32 \ \text{dni}.$

Rachunkowo:

$40 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8} = 2{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8} = \tfrac{1}{16} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^4,$

skąd $\tfrac{t}{8} = 4$, czyli $t = 32$.

Odpowiedź. Po $24$ dniach zostanie $5$ g; masa $2{,}5$ g pozostanie po $32$ dniach.