Kula opisana na walcu - promień kuli i stosunek objętości

Krok 1. Przekrój osiowy. Płaszczyzna przez oś walca tnie walec wzdłuż prostokąta $6 \times 8$, a kulę - wzdłuż koła wielkiego. Wierzchołki prostokąta leżą na okręgach podstaw, więc leżą na sferze: prostokąt jest wpisany w koło o promieniu $R$.

Krok 2. Promień kuli. Środek kuli to środek prostokąta, a $R$ to połowa przekątnej. Z trójkąta o przyprostokątnych $3$ (promień walca) i $4$ (połowa wysokości):

$$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.$$

Krok 3. Objętości.

$$V_w = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi, \qquad V_k = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{500}{3}\pi.$$

Krok 4. Stosunek.

$$\frac{V_w}{V_k} = \frac{72\pi}{\frac{500}{3}\pi} = \frac{216}{500} = \frac{54}{125} = 43{,}2\%.$$

Odpowiedź. $R = 5$; walec zajmuje $43{,}2\%$ objętości kuli.

Największy walec wpisany w kulę zajmuje około $57{,}7\%$ jej objętości - to zadanie z pochodną w lekcji zadania optymalizacyjne. Bryły wpisane i opisane: bryły obrotowe - zadania różne.