Przekątna prostopadłościanu nachylona do podstawy pod kątem 45° - wysokość i przekątna

Krok 1. Jaki kąt jest dany. Kąt nachylenia przekątnej $BD_1$ do płaszczyzny podstawy to kąt między $BD_1$ a jej rzutem na podstawę. Rzutem punktu $D_1$ jest $D$, więc szukany kąt to $\angle DBD_1 = 45^\circ$ (szerzej: kąt między prostą a płaszczyzną).

Krok 2. Przekątna podstawy.

$|BD| = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10.$

Krok 3. Trójkąt prostokątny równoramienny. Trójkąt $BDD_1$ ma kąt prosty przy $D$ i kąt $45^\circ$ przy $B$, więc trzeci kąt też ma $45^\circ$. Przyprostokątne są równe:

$H = |DD_1| = |BD| = 10.$

Krok 4. Przekątna. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna jest $\sqrt{2}$ razy dłuższa od przyprostokątnej:

$|BD_1| = 10\sqrt{2}.$

Odpowiedź. Wysokość prostopadłościanu jest równa $10$, a przekątna ma długość $10\sqrt{2}$.