Upraszczanie wyrażeń ze zdarzeniami - (A ∪ B) ∩ (A ∪ B') = A

Krok 1. Pierwsze wyrażenie - rozdzielność. Suma jest rozdzielna względem iloczynu (jak „wyłączanie wspólnego czynnika”):

$(A \cup B) \cap (A \cup B') = A \cup (B \cap B').$

Krok 2. Zdarzenie i jego przeciwne. $B$ i $B'$ nie mają wspólnych elementów, więc $B \cap B' = \varnothing$, a dodanie zbioru pustego niczego nie zmienia:

$A \cup \varnothing = A.$

Krok 3. Drugie wyrażenie - tak samo. Iloczyn jest rozdzielny względem sumy:

$(A \cap B) \cup (A \cap B') = A \cap (B \cup B') = A \cap \Omega = A.$

To ważny rozkład: każde zdarzenie $A$ dzieli się na dwie rozłączne części - tę, w której $B$ zaszło, i tę, w której nie zaszło. Z niego wynika potem wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

Krok 4. Sprawdzenie na kostce. $B' = \{1, 3, 5\}$.

Pierwsze wyrażenie: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$, $A \cup B' = \{1, 2, 3, 5\}$, iloczyn $\{1, 2, 3\} = A$.

Drugie wyrażenie: $A \cap B = \{2\}$, $A \cap B' = \{1, 3\}$, suma $\{1, 2, 3\} = A$.

Uwaga o pułapce. Przykład liczbowy ilustruje równość, ale jej nie dowodzi - dowodem są kroki 1-3, które działają dla dowolnych zdarzeń.

Odpowiedź. Oba wyrażenia są równe $A$; dla $A = \{1, 2, 3\}$ i $B = \{2, 4, 6\}$ oba dają $\{1, 2, 3\}$.