Przełożenie dwóch kul z urny do urny - prawdopodobieństwo białej kuli (drzewko z trzema gałęziami)

Krok 1. Pierwszy etap - jaka para trafi do urny B? Par kul z urny A jest $\binom{5}{2} = 10$. Oznaczmy $b$ - biała, $c$ - czarna:

• dwie białe ($bb$): $\binom{3}{2} = 3$ pary, $P = \tfrac{3}{10}$,
• biała i czarna ($bc$): $3 \cdot 2 = 6$ par, $P = \tfrac{6}{10}$,
• dwie czarne ($cc$): $\binom{2}{2} = 1$ para, $P = \tfrac{1}{10}$.

Krok 2. Skład urny B po przełożeniu (zawsze $6$ kul):

• po $bb$: $3$ białe - biała z szansą $\tfrac{3}{6}$,
• po $bc$: $2$ białe - biała z szansą $\tfrac{2}{6}$,
• po $cc$: $1$ biała - biała z szansą $\tfrac{1}{6}$.

Krok 3. Gałęzie sprzyjające. Niech $B$ - „z urny B wylosowano białą”:

• $bb$ → biała: $\tfrac{3}{10} \cdot \tfrac{3}{6} = \tfrac{9}{60}$,
• $bc$ → biała: $\tfrac{6}{10} \cdot \tfrac{2}{6} = \tfrac{12}{60}$,
• $cc$ → biała: $\tfrac{1}{10} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{60}$.

Krok 4. Suma.

$P(B) = \frac{9}{60} + \frac{12}{60} + \frac{1}{60} = \frac{22}{60} = \frac{11}{30}.$

Uwaga o pułapce. Para $bc$ to $6$ par, a nie $1$: białą wybieramy na $3$ sposoby, czarną na $2$. Przypisanie trzem rodzajom par po $\tfrac{1}{3}$ daje błędne $\tfrac{1}{3}$.

Odpowiedź. $P(B) = \dfrac{11}{30}$.