Układ z parametrem: (m − 1)x + 2y = 4, 3x + 6y = 12

Krok 1. Upraszczamy drugie równanie. Dzielimy przez $3$:

$x + 2y = 4.$

Krok 2. Kiedy układ jest nieoznaczony. Nieskończenie wiele rozwiązań mamy wtedy, gdy oba równania opisują tę samą prostą. Nasze równania to:

$(m - 1)x + 2y = 4 \qquad \text{oraz} \qquad x + 2y = 4.$

Prawe strony i współczynniki przy $y$ już się zgadzają, więc wystarczy warunek na współczynnik przy $x$:

$m - 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad m = 2.$

Krok 3. Co dla pozostałych $m$. Gdy $m \neq 2$, współczynniki przy $x$ są różne, a przy $y$ takie same - proste mają różne kierunki, więc przecinają się dokładnie raz. Układ jest wtedy oznaczony.

Krok 4. Czy układ może być sprzeczny? Sprzeczność wymagałaby proporcjonalnych współczynników przy niewiadomych i innego stosunku wyrazów wolnych. Tutaj przy $m = 2$ równania są identyczne (łącznie z prawą stroną $4$), więc przypadek sprzeczny nie występuje dla żadnego $m$.

Odpowiedź. Dla $m = 2$ układ ma nieskończenie wiele rozwiązań; dla każdego $m \neq 2$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Sprzeczny nie jest nigdy.