Równanie |x − 2| + |x + 1| = 5

Krok 1. Miejsca zerowe: $x = 2$ oraz $x = -1$. Dzielą one oś na trzy przedziały.

Krok 2. Przypadek A: $x < -1$. Oba wyrażenia są ujemne:

$(2 - x) + (-x - 1) = 5 \quad\Longrightarrow\quad 1 - 2x = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.$

Warunek $-2 < -1$ jest spełniony - rozwiązanie zostaje.

Krok 3. Przypadek B: $-1 \le x < 2$. Pierwsze wyrażenie ujemne, drugie nieujemne:

$(2 - x) + (x + 1) = 5 \quad\Longrightarrow\quad 3 = 5 \quad \text{- sprzeczność}.$

Krok 4. Przypadek C: $x \ge 2$. Oba wyrażenia nieujemne:

$(x - 2) + (x + 1) = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2x - 1 = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.$

Warunek $3 \ge 2$ spełniony.

Kontrola geometryczna. Szukaliśmy liczb, dla których suma odległości od $2$ i od $-1$ wynosi $5$. Same te liczby są oddalone o $3$, więc „zapas” $2$ rozkłada się po jednej jednostce na każdą stronę: $-2$ oraz $3$. Zgadza się.

Odpowiedź. $x = -2$ lub $x = 3$.