Obrót rombu wokół boku - objętość i pole bryły

Krok 1. Bok i wysokość rombu. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy, więc bok to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $3$ i $4$:

$$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \qquad P_{\text{rombu}} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24, \qquad h = \frac{P_{\text{rombu}}}{a} = \frac{24}{5} = 4{,}8.$$

Krok 2. Jaka bryła powstaje. Każdy punkt boku $DC$ leży w odległości $h$ od osi, więc $DC$ zatacza powierzchnię boczną walca o promieniu $h$ i wysokości $5$. Bok $AD$ zatacza powierzchnię stożka o wierzchołku $A$ (wystaje z walca), a bok $BC$ - stożka o wierzchołku $B$ (wydrążonego w walcu). Oba stożki mają promień $h = 4{,}8$ i tworzącą $5$.

Krok 3. Objętość. Stożek doklejony z jednej strony ma tę samą objętość co stożek wycięty z drugiej, więc się znoszą. Zostaje walec o promieniu $h$ i wysokości $a$:

$$V = \pi h^2 a = \pi \cdot 4{,}8^2 \cdot 5 = 115{,}2\pi \approx 361{,}9.$$

Sprawdzenie z twierdzenia Pappusa: pole rombu $24$ razy droga środka rombu ($2\pi \cdot 2{,}4$) daje $24 \cdot 4{,}8\pi = 115{,}2\pi$.

Krok 4. Pole powierzchni. Dwie powierzchnie boczne stożków i powierzchnia boczna walca:

$$P = 2 \cdot \pi h \cdot a + 2\pi h \cdot a = 2 \cdot \pi \cdot 4{,}8 \cdot 5 + 2\pi \cdot 4{,}8 \cdot 5 = 48\pi + 48\pi = 96\pi.$$

Odpowiedź. $V = 115{,}2\pi$, $P = 96\pi$.

To samo rozumowanie działa dla każdego równoległoboku obracanego wokół boku: $V = \pi h^2 a$. Więcej brył złożonych w lekcji bryły obrotowe - zadania różne.