Nierówność 9ˣ − 2 · 3ˣ⁺¹ − 27 ≥ 0 - podstawienie i warunek t > 0

Krok 1. Podstawienie. $9^x = \left(3^x\right)^2$, a $2 \cdot 3^{x + 1} = 6 \cdot 3^x$. Niech $t = 3^x$, $t > 0$:

$t^2 - 6t - 27 \ge 0$

Krok 2. Nierówność kwadratowa. $\Delta = 36 + 108 = 144$, $\sqrt{\Delta} = 12$:

$t_1 = \frac{6 - 12}{2} = -3, \qquad t_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9$

Parabola ma ramiona w górę, więc jest nieujemna na zewnątrz miejsc zerowych:

$t \le -3 \quad \text{lub} \quad t \ge 9$

Krok 3. Uwzględnienie warunku $t > 0$. Część $t \le -3$ odpada - potęga $3^x$ nigdy nie jest ujemna. Zostaje

$t \ge 9$

Pułapka: przepisanie obu części do odpowiedzi i próba rozwiązania $3^x \le -3$.

Krok 4. Powrót do $x$.

$3^x \ge 9 = 3^2 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 2$

(podstawa $3 > 1$, zwrot zostaje).

Krok 5. Sprawdzenie. $x = 2$: $81 - 54 - 27 = 0 \ge 0$ - spełnia. $x = 1$: $9 - 18 - 27 = -36 < 0$ - nie spełnia.

Odpowiedź. $x \in [2, +\infty)$.