Styczna i sieczna - równanie kwadratowe

Szkoła średnia średnie

Z punktu $P$ poprowadzono do okręgu styczną o długości $10$ oraz sieczną przecinającą okrąg w punktach $B$ i $C$ ( $B$ leży bliżej punktu $P$ ). Cięciwa $BC$ ma długość $15$ . Oblicz długość odcinka $PB$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenie. Niech $|PB| = x$ , gdzie $x > 0$ . Cała sieczna to $|PC| = x + 15$ .

Krok 2. Twierdzenie o stycznej i siecznej.

$|PA|^2 = |PB| \cdot |PC| \quad\Longrightarrow\quad 100 = x(x + 15).$

Krok 3. Równanie kwadratowe.

$x^2 + 15x - 100 = 0, \qquad \Delta = 225 + 400 = 625, \qquad \sqrt{\Delta} = 25.$

$x_1 = \frac{-15 - 25}{2} = -20, \qquad x_2 = \frac{-15 + 25}{2} = 5.$

Krok 4. Wybór rozwiązania. Długość odcinka musi być dodatnia, więc odrzucamy $x = -20$ .

Sprawdzenie. $5 \cdot 20 = 100 = 10^2$ . $\checkmark$

Odpowiedź. $|PB| = 5$ (a cała sieczna $|PC| = 20$ ).

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →