Wykaż, że funkcja x⁵ + 2x³ + x − 4 jest rosnąca, i rozwiąż równanie f(x) = 0

Krok 1. Pochodna.

$$f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 1.$$

Krok 2. Znak pochodnej - część a). Potęgi parzyste są nieujemne: $x^4 \geq 0$ i $x^2 \geq 0$. Zatem

$$f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 1 \geq 1 > 0 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R}.$$

Pochodna jest dodatnia na całym przedziale $\mathbb{R}$, więc z twierdzenia o monotoniczności funkcja $f$ jest rosnąca w $\mathbb{R}$, co należało wykazać.

Krok 3. Co najwyżej jedno rozwiązanie. Funkcja rosnąca przyjmuje każdą wartość co najwyżej raz: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_1) < f(x_2)$, więc $f(x_1) \neq f(x_2)$. W szczególności wartość $0$ jest przyjmowana najwyżej w jednym punkcie.

Krok 4. Znalezienie rozwiązania - część b). Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego $-4$ (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu):

$$f(1) = 1 + 2 + 1 - 4 = 0.$$

Liczba $1$ jest rozwiązaniem, a z kroku 3 - jedynym. Bez pochodnej trzeba by podzielić wielomian przez $(x - 1)$ i wykazać, że iloraz $x^4 + x^3 + 3x^2 + 3x + 4$ nie ma pierwiastków; monotoniczność załatwia to od razu.

Krok 5. Nierówność - część c). Funkcja jest rosnąca i $f(1) = 0$, więc

$$x > 1 \ \Longrightarrow\ f(x) > f(1) = 0, \qquad x < 1 \ \Longrightarrow\ f(x) < f(1) = 0.$$

Nierówność $f(x) > 0$ zachodzi dokładnie dla $x > 1$.

Odpowiedź. a) $f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 1 > 0$, więc $f$ rośnie w $\mathbb{R}$. b) Jedynym rozwiązaniem równania jest $x = 1$. c) $x \in (1;\ +\infty)$.