Kula wpisana w stożek i kula opisana na stożku o promieniu 5 i wysokości 12

Krok 1. Przekrój osiowy. Środki obu kul leżą na osi stożka, więc wszystko widać w przekroju osiowym: trójkąt o podstawie $10$, wysokości $12$ i ramionach (tworzących)

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13.$$

Kula wpisana przecina tę płaszczyznę wzdłuż okręgu wpisanego w trójkąt, a kula opisana - wzdłuż okręgu opisanego.

Krok 2. Promień kuli wpisanej. Ze wzoru $r = \frac{P}{p}$ (pole przez połowę obwodu):

$$P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60, \qquad p = \frac{13 + 13 + 10}{2} = 18, \qquad r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}.$$

Krok 3. Promień kuli opisanej. Środek $O$ leży na wysokości w odległości $R$ od wierzchołka i od końca średnicy podstawy. Z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $12 - R$ i $5$:

$$(12 - R)^2 + 5^2 = R^2 \iff 144 - 24R + 25 = 0 \iff R = \frac{169}{24} \approx 7{,}04.$$

To samo daje wzór $R = \frac{abc}{4P} = \frac{13 \cdot 13 \cdot 10}{240} = \frac{169}{24}$.

Krok 4. Część objętości.

$$V_{\text{kuli}} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{10}{3}\right)^3 = \frac{4000}{81}\pi, \qquad V_{\text{stożka}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi, \qquad \frac{V_{\text{kuli}}}{V_{\text{stożka}}} = \frac{40}{81}.$$

Odpowiedź. Promień kuli wpisanej to $\frac{10}{3}$, kuli opisanej $\frac{169}{24}$; kula wpisana zajmuje $\frac{40}{81} \approx 49{,}4\%$ objętości stożka.

Środek kuli opisanej leży wewnątrz stożka (na wysokości $12 - \frac{169}{24} \approx 4{,}96$ nad podstawą), bo kąt rozwarcia jest ostry. Lekcja: bryły obrotowe - zadania różne.