Stożek o kącie rozwarcia 120° i tworzącej 8 - objętość, pole i wycinek

Krok 1. Połowa przekroju osiowego. Wysokość $H$ dzieli przekrój osiowy na dwa trójkąty prostokątne. W każdym przy wierzchołku jest kąt $60^\circ$, przeciwprostokątna to tworząca $8$, promień leży naprzeciw kąta $60^\circ$, a wysokość przy nim:

$$r = 8 \sin 60^\circ = 4\sqrt{3}, \qquad H = 8 \cos 60^\circ = 4.$$

Krok 2. Objętość.

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot 4 = 64\pi.$$

Krok 3. Pole całkowite.

$$P_c = \pi r^2 + \pi r l = 48\pi + \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 = 48\pi + 32\sqrt{3}\,\pi = 16\pi\left(3 + 2\sqrt{3}\right).$$

Krok 4. Kąt wycinka. Łuk wycinka ma długość obwodu podstawy, a promień wycinka to tworząca:

$$\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{8} \cdot 360^\circ = 180\sqrt{3}^\circ \approx 311{,}8^\circ.$$

Odpowiedź. $V = 64\pi$, $P_c = 16\pi\left(3 + 2\sqrt{3}\right)$, kąt wycinka $180\sqrt{3}^\circ \approx 311{,}8^\circ$.

Im szerszy stożek, tym większy wycinek - przy kącie rozwarcia bliskim $180^\circ$ rozwinięcie staje się prawie pełnym kołem. Rozwinięcie powierzchni bocznej opisuje lekcja stożek.