Równanie z parametrem 4ˣ − 2ˣ⁺¹ + m = 0 - liczba rozwiązań

Krok 1. Podstawienie. $4^x = \left(2^x\right)^2$ i $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^x$. Niech $t = 2^x$, $t > 0$:

$t^2 - 2t + m = 0$

Każda dodatnia liczba $t$ daje dokładnie jedno $x = \log_2 t$, a liczby $t \le 0$ nie dają żadnego. Liczba rozwiązań równania wyjściowego = liczba dodatnich pierwiastków tego równania kwadratowego.

Krok 2. Parametr na jedną stronę.

$m = 2t - t^2, \qquad t > 0$

Szukamy, ile razy pozioma prosta $y = m$ przecina wykres funkcji $h(t) = 2t - t^2$ rozpatrywanej tylko dla $t > 0$.

Krok 3. Wykres $h$. To parabola skierowana ramionami w dół, z miejscami zerowymi $t = 0$ i $t = 2$ oraz wierzchołkiem w $t = 1$, gdzie $h(1) = 1$. Dla $t > 0$:

• na przedziale $(0, 1]$ funkcja rośnie od $0$ (bez osiągnięcia zera, bo $t = 0$ jest wykluczone) do $1$;
• na przedziale $[1, +\infty)$ maleje od $1$ do $-\infty$, przechodząc przez $h(2) = 0$.

Krok 4. Odczytanie liczby rozwiązań.

• $m > 1$ - prosta leży nad wierzchołkiem: brak rozwiązań;
• $m = 1$ - prosta dotyka wierzchołka: jedno $t = 1$, czyli jedno rozwiązanie $x = 0$;
• $0 < m < 1$ - prosta przecina obie gałęzie: dwa dodatnie $t$, dwa rozwiązania;
• $m \le 0$ - lewa gałąź przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc zostaje jedno przecięcie z prawą gałęzią ($t \ge 2$): jedno rozwiązanie.

Pułapka: rachunek samej delty ($\Delta = 4 - 4m > 0$ dla $m < 1$) daje „dwa rozwiązania dla $m < 1$”, co jest błędem. Dla $m \le 0$ jeden z pierwiastków $t = 1 - \sqrt{1 - m}$ jest niedodatni i odpada. Przykład: dla $m = 0$ mamy $t^2 - 2t = 0$, czyli $t = 0$ (odpada) lub $t = 2$, więc jedno rozwiązanie $x = 1$.

Odpowiedź. Dwa rozwiązania dla $m \in (0, 1)$; jedno rozwiązanie dla $m \in (-\infty, 0] \cup \{1\}$; brak rozwiązań dla $m \in (1, +\infty)$.