Losowanie ze zwracaniem i bez zwracania - prawdopodobieństwo kul różnych kolorów

Krok 1. Oznaczenia. Kule numerujemy: $c_1, c_2, c_3$ (czerwone) i $z_1, z_2$ (zielone). Wynikiem jest para uporządkowana (pierwsza kula, druga kula). Niech $A$ - „kule różnych kolorów”. Pary sprzyjające są dwóch rodzajów: (czerwona, zielona) albo (zielona, czerwona).

Krok 2. Wariant a) - ze zwracaniem. Za każdym razem losujemy z $5$ kul:

$|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25, \qquad |A| = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12, \qquad P(A) = \frac{12}{25}.$

Krok 3. Wariant b) - bez zwracania. Za drugim razem w urnie są już tylko $4$ kule, a para nie może się składać z tej samej kuli:

$|\Omega| = 5 \cdot 4 = 20, \qquad |A| = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12, \qquad P(A) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}.$

Liczba par sprzyjających jest taka sama, bo kula innego koloru nigdy nie jest tą samą kulą. Zmienia się tylko $|\Omega|$ - znikają pary „ta sama kula dwa razy”, które są zawsze jednego koloru.

Uwaga o pułapce. Liczenie tylko par (czerwona, zielona) daje $\tfrac{6}{25}$ i $\tfrac{6}{20}$ - zapomina się, że kolejność może być odwrotna.

Odpowiedź. a) $P(A) = \dfrac{12}{25} = 0{,}48$; b) $P(A) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.