Główna › Zadania › Okręgi i koła › Twierdzenie o stycznej i siecznej › Dwie sieczne - nieznana część zewnętrzna Dwie sieczne - nieznana część zewnętrzna Szkoła średnia trudne
Z punktu P P P B B B C C C B C BC B C 7 7 7 D D D E E E ∣ P D ∣ = 4 |PD| = 4 ∣ P D ∣ = 4 ∣ D E ∣ = 11 |DE| = 11 ∣ D E ∣ = 11 B B B D D D P P P ∣ P B ∣ |PB| ∣ P B ∣
Rozwiązanie Pokaż rozwiązanie krok po kroku Ukryj rozwiązanie Krok 1. Oznaczenia. Niech ∣ P B ∣ = x > 0 |PB| = x > 0 ∣ P B ∣ = x > 0 ∣ P C ∣ = x + 7 |PC| = x + 7 ∣ P C ∣ = x + 7 ∣ P E ∣ = ∣ P D ∣ + ∣ D E ∣ = 4 + 11 = 15 |PE| = |PD| + |DE| = 4 + 11 = 15 ∣ P E ∣ = ∣ P D ∣ + ∣ D E ∣ = 4 + 11 = 15
Krok 2. Twierdzenie o dwóch siecznych.
∣ P B ∣ ⋅ ∣ P C ∣ = ∣ P D ∣ ⋅ ∣ P E ∣ ⟹ x ( x + 7 ) = 4 ⋅ 15 = 60. |PB| \cdot |PC| = |PD| \cdot |PE| \quad\Longrightarrow\quad x(x + 7) = 4 \cdot 15 = 60. ∣ P B ∣ ⋅ ∣ P C ∣ = ∣ P D ∣ ⋅ ∣ P E ∣ ⟹ x ( x + 7 ) = 4 ⋅ 15 = 60.
Krok 3. Równanie kwadratowe.
x 2 + 7 x − 60 = 0 , Δ = 49 + 240 = 289 , Δ = 17. x^2 + 7x - 60 = 0, \qquad \Delta = 49 + 240 = 289, \qquad \sqrt{\Delta} = 17. x 2 + 7 x − 60 = 0 , Δ = 49 + 240 = 289 , Δ = 17.
x 1 = − 7 − 17 2 = − 12 , x 2 = − 7 + 17 2 = 5. x_1 = \frac{-7 - 17}{2} = -12, \qquad x_2 = \frac{-7 + 17}{2} = 5. x 1 = 2 − 7 − 17 = − 12 , x 2 = 2 − 7 + 17 = 5.
Krok 4. Odrzucamy ujemne rozwiązanie. Sprawdzenie: 5 ⋅ 12 = 60 = 4 ⋅ 15 5 \cdot 12 = 60 = 4 \cdot 15 5 ⋅ 12 = 60 = 4 ⋅ 15 ✓ \checkmark ✓
Uwaga na pułapkę. W twierdzeniu mnożymy część zewnętrzną przez całą sieczną, nie przez cięciwę. Iloczyn 4 ⋅ 11 4 \cdot 11 4 ⋅ 11
Odpowiedź. ∣ P B ∣ = 5 |PB| = 5 ∣ P B ∣ = 5
Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →
Podobne zadania 