Granica z parametrami - dla jakich a i b granica 0/0 jest równa 5

Krok 1. Licznik musi dążyć do zera. Mianownik $x - 1$ dąży do $0$. Gdyby licznik dążył do liczby $c \neq 0$, iloraz miałby postać „$c$ przez $0$” - jego wartości uciekałyby do nieskończoności i granica nie byłaby liczbą $5$. Zatem granica licznika w punkcie $1$ musi być zerem. Licznik to wielomian, więc jego granica to wartość w punkcie $1$:

$$1 + a + b = 0, \qquad \text{czyli} \qquad b = -1 - a$$

Krok 2. Rozkładamy licznik. Skoro licznik zeruje się dla $x = 1$, z twierdzenia Bézouta dzieli się przez $(x - 1)$. Podstawiamy $b = -1 - a$ i grupujemy:

$$x^2 + ax - 1 - a = (x^2 - 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x + 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x + 1 + a)$$

Krok 3. Skracamy i liczymy granicę. Dla $x \neq 1$:

$$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1 + a)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1 + a) = 2 + a$$

Krok 4. Warunek na wartość granicy. $2 + a = 5$, więc $a = 3$, a stąd $b = -1 - 3 = -4$.

Krok 5. Sprawdzenie. Dla $a = 3$, $b = -4$ licznik to $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$, więc

$$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 4)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 4) = 5$$

Krok 6. Czy są inne pary? Nie: krok 1 pokazał, że każda para spełniająca warunek musi mieć $b = -1 - a$, a wśród takich par krok 4 dopuszcza tylko $a = 3$.

Odpowiedź. $a = 3$, $b = -4$ (jedyna para).

Pułapka: samo równanie $1 + a + b = 0$ to za mało - spełnia je nieskończenie wiele par (np. $a = 0$, $b = -1$ daje granicę $2$). Dopiero warunek na wartość granicy wyznacza parę jednoznacznie.